非線形発展方程式の抽象理論とその応用

自然科学に現れる様々な現象は、数理モデル化と呼ばれる事象の数値化や本質の抽出などを経て数学の問題である微分方程式によって記述することができる。時間経過と空間の広がりの変数に注目した偏微分方程式のなかで、特に放物型と呼ばれる方程式や複数の方程式が相互に影響し合う連立偏微分方程式系についてその可解性の研究を行っている。一般に重ね合わせの原理が成立しない非線形の偏微分方程式に対して、解を具体的に表示することは困難である場合が多い。そこでまずは解の存在と一意性を保証することが最初の目標となる。そのため解の意味を弱い意味で定義し、Sobolev空間と呼ばれる関数空間で解を捉える手法が効果的である。複雑な非線形性を伴う偏微分方程式について、無限次元関数空間上の常微分方程式とみなす発展方程式の理論を用いてその可解性を研究している。また障害物問題など制約条件を含む問題に対する発展方程式は変分不等式として記述できるが、方程式の持つ構造と制約条件の関係が可解性に及ぼす影響にも興味がある。特に非線形発展方程式の中でも劣微分作用素に支配される発展方程式はその構造から様々な自然現象を捉えるモデルに対して有効であることが知られている。劣微分作用素の表現を明らかにしつつ、より複雑な自然現象に対して１つの微分方程式でその本質に迫るべく興味を持って研究を行っている。